Second Order Conic Programming

若目标函数或约束条件中包含非线性函数，称这种规划问题为非线性规划问题。二阶锥规划（Second Order Conic Programming,简称SOCP）是一种常见的非线性规划问题，具有广泛的应用领域和实际意义，其研究问题设计组合优化，金融，对策论，经济学等诸多领域。

锥 的概念：对于一个向量空间V与它的一个子集C，如果子集C中的任意一点x与任意正数 a， 其乘积ax仍然属于子集 C， 则称 C 为一个锥。（根据定义，一个锥总是无界的。）

凸锥：若一个锥C中任意两点x与y，以及任意两个正数a与b， 都有 ax + by 属于 C，则该锥为凸锥。

因此，锥规划问题的数学形式可表示为：

$MAX(min)z=\sum_{j=1}^{n}c_{j}x_{j}$

$\begin{array}{c} &s.t.\quad\begin{cases}l ^{c} \leq \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_j \leq u ^{c} & (i=1,2,3,\cdots, m) \\ l ^{x} \leq x_j \leq u ^{x} \\ a\in \kappa \end{cases} \end{array}$

其中 为凸锥， 和 为约束上下界， 和 为变量上下界

二阶锥的标准形式有两种：

1. 二阶锥（Quadratic cone)

$Q ^{n} = \left \{ \sum_{j=1}^{n-1} x_j ^{2} \leq x_0, x \in \mathbb{R} ^{n} \right \}$

2. 旋转二阶锥（Rotated quadratic cone）

$Q_r ^{n} = \left \{ \sum_{j=2}^{n-1} x_j ^{2} \leq 2 x_0 x_1, x \in \mathbb{R} ^{n} \right \}$