矩阵建模功能
杉数求解器COPT的Python API提供矩阵建模方式，支持 NumPy 的多维数组，二维的 NumPy 矩阵，以及 SciPy 列压缩矩阵( csc_matrix )
和行压缩矩阵( csr_matrix )的运算（ NumPy 最低版本要求为1.23， Python 最低版本要求为3.8），并且可以和常规（标量）变量和常规约束结合，主要提供如下功能：
添加多维变量（
MVar类对象）等相关操作；构建多维线性表达式（
MLinExpr类对象），添加多维线性约束（MConstr类对象）等相关操作；构建多维二次表达式（
MQuadExpr类对象），添加多维凸二次约束（QConstraint类对象）等相关操作。
两种矩阵建模模式
COPT提供的矩阵建模功能目前支持两种模式：原始模式和内测模式。其中，原始模式（为默认模式）依赖于Python的 NumPy 库（ NumPy 最低版本要求为1.23，
Python 最低版本要求为3.8）；7.1.4新增内测模式，基于COPT C++接口的原生矩阵建模类实现，建模速度相较前者有一定程度提升。
在Python接口中，两种模式通过 Model.matrixmodelmode 进行控制和切换，默认是原始模式。请根据使用需要设置：
Model.matrixmodelmode = "legacy"（默认模式），依赖于NumPy库；Model.matrixmodelmode = "experimental"，基于COPT的C++原生矩阵类（NdArray），无外部依赖。
两种模式支持的函数以及操作类型略有差异。
1.MConstr.reshape()/MVar.reshape() 的 order（存储）方式，即函数参量 order 的取值：
原始模式：同时支持
'C'（按行）和'F'（按列）内测模式：只支持
'C'（按行）
2.高级索引（advanced indexing）支持情况：
以nqueen问题中，对角线上最多只能有一个queen对应的约束为例：
原始模式：能够兼容
NumPy的高级索引，可具体实现如下：import coptpy as cp import numpy as np env = cp.Envr() model = env.createModel() model.matrixmodelmode = "legacy" for i in range(1, 2*n): # At most one queen per diagonal diagn = (range(max(0, i-n), min(n, i)), range(min(n, i)-1, max(0, i-n)-1, -1)) model.addConstrs(x[diagn].sum() <= 1, nameprefix="diag"+str(i)) # At most one queen per anti-diagonal adiagn = (range(max(0, i-n), min(n, i)), range(max(0, n-i), min(n, 2*n-i))) model.addConstrs(x[adiagn].sum() <= 1, nameprefix="adiag"+str(i))
内测模式：不支持上述高级索引方式，需要通过Python原生的索引方式，可具体实现如下：
import coptpy as cp import numpy as np env = cp.Envr() model = env.createModel() model.matrixmodelmode = "experimental" for i i in range(-n+1, n): # At most one queen per diagonal model.addConstrs(x.diagonal(i).sum() <= 1, nameprefix="diag"+str(i)) # At most one queen per anti-diagonal model.addConstrs(x[:, ::-1].diagonal(i).sum() <= 1, nameprefix="adiag"+str(i))
3.获取矩阵类对象（ MConstr 和 MVar 等对象）相关信息，返回值类型不同：
原始模式：
numpy.ndarray内测模式：
coptcore.NdArray
4.支持的维度情况有所不同：
原始模式：对维度无限制，可支持更高维矩阵。
内测模式：支持的维度最高为三维。
5.添加多维二次约束时，对参与构成约束的变量维度支持情况，以及返回值的类型有所不同：
原始模式：参与构成二次约束的变量维度需要为1（即向量），不支持更高的维度，返回值类型为 QConstraint类 对象。
import coptpy as cp import numpy as np env = cp.Envr() model = env.createModel() model.matrixmodelmode = "legacy" Q = np.full((3, 3), 1) mx = model.addMVar(3, nameprefix="mx") # mqc <coptpy.QConstraint: > mqc = model.addQConstr(mx@Q@mx<=1)
内测模式：参与构成二次约束的变量维度可以为一维或者二维，返回值类型为 MQConstr 类 对象。
import coptpy as cp import numpy as np env = cp.Envr() model = env.createModel() model.matrixmodelmode = "experimental" Q = np.full((3, 3), 1) mx = model.addMVar((3, 3), nameprefix="mx") # mqc <coptpy.MQConstr: shape=(3, 3)> mqc = model.addQConstr(mx@Q@mx <= 1)
多维变量
添加多维变量
MVar
MVar是多维变量相关操作的封装，用户可以调用Model.addMVar()向模型中添加任意维度和形状的多维变量MVar。除了需要指定参数shape形状之外，其余参数与添加普通变量时需指定的一致，包括：lb,ub,vtype,nameprefix。
添加一维连续型多维变量：
x = Model.addMVar(3)添加二维 3x3 二进制型多维变量：
y = Model.addMVar((3,3), vtype=COPT.BINARY)此外，还可以对
MVar多维变量进行切片操作，如：y1 = y[:,0:2]
获取多维变量相关属性
维度数量：
MVar.ndim多维变量的形状：
MVar.shape元素数量：
MVar.size
多维数组运算及表达式
多维线性表达式
多维变量与其系数（可以为 ndarray ）构成多维线性表达式（ MLinExpr ），支持的运算主要有：
矩阵乘法运算：A @ x
x = model.addMVar(3) A = np.array([[1, 0, 1],[0, 0, 1]]) expr1 = A @ x
向量内积运算
x = model.addMVar(3) c = np.array([1, 2, 3]) expr2 = c @ x
多维二次表达式
常见的多维二次表达式及对应的数学形式如下：
x @ Q @ x：\(x^TQx\)
x @ x：\(x^Tx\)
x @ Q @ x + c @ x + b：\(x^TQx+c^Tx+b\)
其他多维数组运算
与常规变量、常规线性表达式，以及常数结合：
x = model.addMVar(3) y = model.addVar() c = np.array([1, 2, 3]) Q = np.full((3, 3), 1) expr3 = 2 * x @ Q @ x + c @ x + 2 * y + 1
自加/自减/自乘运算：
mx = m.addMVar((3, 3)) B = np.array([[1, 0, 1], [0, 1, 1]]) expr_add = B @ mx expr_add += 1 expr_add *= 2
注意
我们直接打印多维表达式
print(MLinExpr)/print(MQuadExpr)时，同时会输出表达式的形状shape。当shape=()时，表示该表达式为标量（单一线性/二次表达式），对应的ndim=0，size=1，对于多维变量MVar的shape也是如此；当进行矩阵乘法运算（A@x）时， 需要满足矩阵乘法运算法则，A的列数和X的行数需要相同；
COPT支持
MLinExpr类对象和LinExpr结合使用，但需注意此时的MLinExpr类对象需要shape=()，最终返回的表达式为MLinExpr类对象且shape=()。
矩阵约束
矩阵线性约束
COPT支持添加矩阵线性约束的两种方式，函数参数提供的格式有所不同：
专门添加矩阵线性约束的
Model.addMConstr()，可以指定的参数有：A：线性约束的系数矩阵x：决策变量（MVar类对象）sense：线性约束的类型，可取值有：'L'（小于等于）、'G'（大于等于）、'E'（等于）等b：线性约束右端项（向量，维度与矩阵A的行数一致）name：约束名称
x = model.addMVar(shape=3, vtype=COPT.BINARY, nameprefix='x') A = np.array([[1, 2, 3], [3, 2, 1]]) b = np.array([2, 5]) mconstrs = model.addMConstr(A, x, 'L', b, nameprefix='c') obj = np.array([1, 2, 1]) model.setObjective(obj @ x, COPT.MINIMIZE)
多维线性约束可视为一组线性约束，故
Model.addConstrs()也可以添加多维线性约束：
x = model.addMVar(shape=3, vtype=COPT.BINARY, nameprefix='x') A = np.array([[1, 2, 3], [3, 2, 1]]) b = np.array([2, 5]) mconstrs = model.addConstrs(A @ x <= b, nameprefix='c') obj = np.array([1, 2, 1]) model.setObjective(obj @ x, COPT.MINIMIZE)
二次约束
COPT支持添加矩阵二次约束的两种方式，函数参数提供的格式有所不同：
专门添加矩阵二次约束的
Model.addMQConstr()，可以指定的参数有：Q：二次项系数矩阵c：线性项系数向量，若无线性项，则为Nonesense：二次约束的类型，可取值有：'L'（小于等于）、'G'（大于等于）、'E'（等于）等。rhs：二次约束右端项xQ_L：二次项系数矩阵 Q 左端变量（向量，长度与矩阵Q的行数一致）xQ_R：二次项系数矩阵 Q 右端变量（向量，长度与矩阵Q的列数一致）xc：线性项的变量，若无线性项，则为Nonename: 约束名称
Q = np.diag([3, 2, 1]) x = model.addMVar(3) y = model.addMVar(3) c1 = model.addMQConstr(Q, None, 'E', 1.0, x, y)
Model.addQConstr()，直接给出多维二次表达式
lhs: 多维二次表达式
sense:约束类型
rhs:约束右端项Q = np.diag([3, 2, 1]) x = model.addMVar(3) y = model.addMVar(3) c2 = model.addQConstr(lhs=x@Q@y, sense=COPT.EQUAL, rhs=1.0)
由多维变量构成的目标函数
COPT支持设置线性和二次目标函数，并提供设置由多维变量构成目标函数的两种方式，函数参数的格式有所不同：
专门设置由多维变量构成的目标函数的
Model.setMObjective()，可以指定的参数有：Q：二次项系数矩阵，若目标函数是线性的，则为Nonec：线性项系数向量，若无线性项，则为Noneconstant：目标函数的常数项xQ_L：二次项系数矩阵 Q 左端变量（向量，长度与矩阵Q的行数一致），若目标函数是线性的，则为NonexQ_R：二次项系数矩阵 Q 右端变量（向量，长度与矩阵Q的列数一致），若目标函数是线性的，则为Nonexc：线性项的变量，若无线性项，则为Nonesense：优化方向，可取值为：COPT.MINIMIZE或COPT.MAXIMIZE
直接给出目标函数表达式的
Model.setObjective()expr：目标函数表达式，可以为线性或者二次表达式sense：优化方向，可取值为：COPT.MINIMIZE或COPT.MINIMIZE
x = model.addMVar(shape=3, vtype=COPT.BINARY, nameprefix="x") obj = np.array([1, 2, 1]) model.setObjective(obj @ x, COPT.MINIMIZE)
关于矩阵建模方式，COPT Python接口分别提供多维变量及其（线性和凸二次）表达式、矩阵约束的类，对相关操作进行封装，其中包含的成员方法及具体介绍请参考 Python API 对应部分：
多维变量： MVar类
多维线性表达式： MLinExpr类
二次表达式： MQuadExpr类
矩阵约束： MConstr类